Geometria

G10_6 Solidi di rotazione composti

PROBLEMA 1 Trapezio rettangolo che ruota attorno alla base maggiore

Un trapezio rettangolo ha una base che è 3/5 dell’altra. Sapendo che l’altezza misura 8 cm e che la base maggiore misura 15 cm, calcola:

1. l’area del trapezio e il perimetro del trapezio;
2. l’area della superficie totale, il volume e il peso (esprimendolo in kg) del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore, sapendo che è fatto di legno di betulla (ps=0,6).

Soluzione

Determino la misura della base minore e della differenza delle basi (q)

b₁= (15:5) · 3 = 3 · 3 = 9 cm

q = b₂ – b₁= 15 – 9 = 6 cm

Determino il lato obliquo

Calcolo perimetro e area del trapezio

p = b₁ + ℓ + b₂ + h = 9 + 10 + 15 + 8 = 42 cm

A_trapezio= (b₁ + b₂) · h/2 = (9 + 15) · 8/2 = 24 · 4 = 96 cm²

Calcolo l'area del cerchio e la lunghezza della circonferenza

(mi serviranno per le aree delle superfici e i volumi)

A_cerchio= 𝜋r²= 8²𝜋 = 64𝜋 cm²  [nota bene: 𝜋 è il simbolo del pi-greco]

C = 2𝜋r = 16𝜋 cm

Calcolo l'area della superficie totale del solido

A_base= A_cerchio= 64𝜋 cm²

A_{laterale-cilindro}= C · k₂ = 16𝜋 · 9 = 144𝜋 cm²

A_{laterale-cono} = C · a/2 = 𝜋r · a = 8 · 10 · 𝜋 = 80𝜋 cm²

A_totale= A_cerchio + A_{laterale-cilindro} + A_{laterale-cono} = 64𝜋 cm² + 144𝜋 cm² + 80𝜋 cm² = 288𝜋 cm²

Calcolo il volume del solido

V_cilindro= A_base · k₂ = 64𝜋 · 9 = 576𝜋 cm³

V_cono= A_base · k₁/3 = 64𝜋 · 6/3 = 64𝜋 · 2 = 128𝜋 cm³

V_solido= V_cilindro + V_cono= 576𝜋 cm³ + 128𝜋 cm³ = 704𝜋 cm³

Calcolo il peso del solido

P = V · ps = 704𝜋 · 0,6 = 704 · 0,6 · 3,14 ≈ 1326,336 g ≈ 1,3 kg

PROBLEMA 2  Trapezio rettangolo che ruota attorno alla base minore

Un trapezio rettangolo ha una base che è 3/4 dell’altra. Sapendo che l’altezza misura 8 cm e che la base maggiore misura 24 cm, calcola:

1. l’area del trapezio e il perimetro del trapezio;
2. l’area della superficie totale, il volume e il peso (esprimendolo in kg) del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base minore, sapendo che è fatto di plastica (ps=1,5).

Soluzione

Determino la misura della base minore e della differenza delle basi (q)

b₁= (24:4) · 3 = 6 · 3 = 18 cm

q = b₂ – b₁= 24 – 18 = 6 cm

Determino il lato obliquo

Calcolo perimetro e area del trapezio

p = b₁ + ℓ + b₂ + h = 18 + 10 + 24 + 8 = 60 cm

A_trapezio= (b₁ + b₂) · h/2 = (18 + 24) · 8/2 = 42 · 4 = 168 cm²

Calcolo l'area del cerchio e la lunghezza della circonferenza

(mi serviranno per le aree delle superfici e i volumi)

A_cerchio= 𝜋r²= 8²𝜋 = 64𝜋 cm²  [nota bene: 𝜋 è il simbolo del pi-greco]

C = 2𝜋r = 16𝜋 cm

Calcolo l'area della superficie totale del solido

A_base= A_cerchio= 64𝜋 cm²

A_{laterale-cilindro}= C · k₂ = 16𝜋 · 24 = 384𝜋 cm²

A_{laterale-cono} = C · a/2 = 𝜋r · a = 8 · 10 · 𝜋 = 80𝜋 cm²

A_totale= A_cerchio + A_{laterale-cilindro} + A_{laterale-cono} = 64𝜋 cm² + 384𝜋 cm² + 80𝜋 cm² = 528𝜋 cm²

Calcolo il volume del solido

V_cilindro= A_base · k₂ = 64𝜋 · 24 = 1536𝜋 cm³

V_cono= A_base · k₁/3 = 64𝜋 · 6/3 = 64𝜋 · 2 = 128𝜋 cm³

V_solido= V_cilindro – V_cono= 1536𝜋 cm³ – 128𝜋 cm³ = 1408𝜋 cm³

NOTA BENE

In questo problema il volume totale è dato dalla differenza dei due volumi (contrariamente al problema precedente).

Calcolo il peso del solido

P = V · ps = 1408𝜋 · 1,5 = 1408 · 1,5 · 3,14 ≈ 6631,68 g ≈ 6,6 kg

PROBLEMA 3 Trapezio isoscele che ruota attorno alla base maggiore

In un trapezio isoscele le due basi misurano 36 cm e 12 cm. Sapendo che l’altezza del trapezio misura 4/3 della base minore, calcola:

• l’area del trapezio e  il perimetro del trapezio;
• l’area della superficie totale, il volume e il peso (esprimendolo in kg) del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore sapendo che è fatto di calcestruzzo (ps = 2).

Soluzione

Determino la misura dell'altezza e della proiezione del lato obliquo (q)

h = (12 : 3) · 4 = 4 · 4 = 16 cm

q = (b₂ – b₁) : 2 = (36 – 12) : 2= 24 : 2 = 12 cm

Determino il lato obliquo

Calcolo perimetro e area del trapezio

p = b₁ + b₂ + 2ℓ = 12 + 36 + 2 · 20 = 48 + 40 = 88 cm

A_trapezio= (b₁ + b₂) · h/2 = (12 + 36) · 16/2 = 48 · 8 = 384 cm²

Calcolo l'area del cerchio e la lunghezza della circonferenza

(mi serviranno per le aree delle superfici e i volumi)

A_cerchio= 𝜋r²= 16²𝜋 = 256𝜋 cm²  [nota bene: 𝜋 è il simbolo del pi-greco]

C = 2𝜋r = 32𝜋 cm

Calcolo l'area della superficie totale del solido

A_{laterale-cilindro}= C · k₂ = 32𝜋 · 12 = 384𝜋 cm²

A_{laterale-cono} = C · a/2 = 𝜋r · a = 16 · 20 · 𝜋 = 320𝜋 cm²

A_totale= A_{laterale-cilindro} + 2·A_{laterale-cono} = 384𝜋 cm² + 2·320𝜋 cm² = 384𝜋 cm² + 640𝜋 cm² = 1024𝜋 cm²

Calcolo il volume del solido

A_base= A_cerchio= 256𝜋 cm²

V_cilindro= A_base · k₂ = 256𝜋 · 12 = 3072𝜋 cm³

V_cono= A_base · k₁/3 = 256𝜋 · 12/3 = 256𝜋 · 4 = 1024𝜋 cm³

V_solido= V_cilindro + 2·V_cono= 3072𝜋 cm³ + 2·1024𝜋 cm³ = 3072𝜋 cm³ + 2048𝜋 cm³ = 5120𝜋 cm³

Calcolo il peso del solido

P = V · ps = 5120𝜋 · 2 = 5120 · 2 · 3,14 ≈ 32153,6 g ≈ 32,2 kg