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Aritmetica

A12 Proporzionalità

 

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A12_3 Proporzionalità inversa

PROBLEMA DELL'AUTOCARRO

 

Per trasportare un carico, un autocarro della portata di 35 quintali compie 12 viaggi. Quanti viaggi dovrebbe fare un autocarro della portata di 28 quintali?

 


SVOLGIMENTO E SOLUZIONE

 

a) INDIVIDUA le due variabili del problema:

  • le variabili sono quantità o grandezze fisiche che nel problema cambiano di valore;
  • scegli i giusti simboli che le rappresentano;
  • scrivi una legenda.

P = portata dell'autocarro (il peso del carico massimo che riesce a sopportare) [*]

 

[* la P (maiuscola) è il simbolo usato di norma per indicare il peso]

 

n = numero di viaggi necessari (a pieno carico) [**]

 

[** il numero di viaggi è una quantità non una grandezza fisica, le quantità
sono numeri, si può decidere la lettera che si vuole, in genere n]

 

b) DISTINGUI le due diverse situazioni, prima e dopo il cambiamento, e scrivi i dati:

  • attribuisci gli indici 1 e 2 alle due diverse situazioni;
  • gli indici devono essere scritti sempre in basso e in carattere più piccolo;
  • scrivi le unità di misura dove richiesto, in questo caso q (quintali) oppure trasforma in chili;
  • la quantità di viaggi è un numero, non c'è unità di misura, volendo si può scrivere "viaggi";
  • ci sono sempre 3 valori conosciuti (dati) [*] e 1 valore da determinare (incognita) al quale si attribuisce il valore x;

[* questi problemi sono stati anche chiamati "problemi del 3"
per il fatto che ci sono sempre 3 dati utili da considerare]

 

P₁= 35 q = 3500 kg     n₁= 12 viaggi

P₂= 28 q = 2800 kg     n₂ = x

 

c) RIFLETTI facendo una valutazione della proporzionalità e poi scrivi una spiegazione a parole:

  • se diminuisce la portata dell'autocarro, il numero di viaggi necessari a trasportare il carico aumenterà;
  • più precisamente, con un esempio: dimezzando la portata dell'autocarro, il numero di viaggi raddoppierà;
  • le due quantità che variano (variabili) vanno in senso opposto in modo proporzionato (dimezzando la portata, i viaggi raddoppiano);
  • in questo caso si dice che c'è una proporzionalità inversa tra la portata e il numero di viaggi.

 

Se diminuisce la portata dell'autocarro, il numero di viaggi necessari a trasportare il carico aumenterà in proporzione quindi è costante il prodotto P ⋅ n  [proporzionalità inversa].

 

d) TROVA la costante e specifica a parole il suo significato:

  • per riassumere e riordinare le idee puoi compilare una tabella come quella riportata qui sotto;
  • calcola la costante che, in questo caso, è un rapporto, come hai determinato nel punto c);
  • in questo problema la costante si ricava dalla situazione 1, dove conosci entrambe le variabili;
  • osserva che, proprio perché questa è una costante, nella tabella è già stato scritto lo stesso valore anche nella riga sottostante, quella della situazione 2.

 

        P     n     Costante k = P⋅n  
  Situazione 1     35     12     35 ⋅ 12 = 420  
  Situazione 2     28     x     420  

 

k = P⋅n = 35 ⋅ 12 = 420 q (peso totale del materiale da trasportare)

 

e) RISOLVI il problema calcolando il valore incognito.

  • il prodotto P⋅n è costante ed è 420 q (il materiale da trasportare è sempre lo stesso)
  • si può scrivere un'uguaglianza di prodotti

 

P₁n₁ = P₂n₂

 

 

35 ⋅12 = 28 ⋅ x

 

28x = 35 ⋅12 [*]

[* abbiamo invertito i due membri e riscritto l'equazione]

 

 

 

Nota che, per semplificare, a 35/28 si è sostituito 5/4, e poi a 12/4 si è sostituito 3/1.

Dalla tabella, ricavi che x = 420:28 e quindi potevi giungere allo stesso risultato con la formula:

 

 

n₂ = 15 viaggi

Come si scrivono i dati?

errori da evitare

 

Problema del fornaio Un fornaio confeziona 280 panini del peso di 140 grammi ciascuno. Quanti panini del peso di 175 grammi avrebbe potuto confezionare con la stessa quantità di farina?

 

n = numero di panini

 

P = peso in grammi di ciascun panino


Errori più comuni

  • usare lo stesso simbolo per le due grandezze e scrivere: P= panini; P= peso
  • confondere la grandezza (il peso) con l'unità di misura (grammi) e scrivere: G= grammi
  • fraintendere un dato e scrivere:
    P= peso dei panini (ma così sembra il peso di tutti i panini, che è costante!)

P₁ = 140 g    n₁ = 280
P₂ = 175 g;   n₂ = x


Attenzione:

  • ricorda di scrivere l'unità di misura dei pesi (g)
  • invece la quantità di panini è un numero puro (cioè non è una misura) e non è necessario scrivere “panini”.